Departamento de Matemáticas UAM

 

 

La teoría ``geométrica” y "ergódica" de sistemas hiperbólicos puede considerarse bastante completa después de las contribuciones de Smale y Bowen-Ruelle-Sinai en los años 60-70. El “sueño" hiperbólico de Smale ("casi todos los sistemas son hiperbólicos o estables y simples") se desvaneció con los descubrimientos de la "herradura de Smale" y de sistemas no-hiperbólicos de forma persistente, por el propio Smale y Abraham, Shub y Mañé, por citar solamente algunos nombres destacados. Al final de los años 70 surgieron muchos ejemplos de sistemas no-hiperbólicos (incluyendo los célebres atractores de Lorenz y Hénon, por ejemplo). Así comenzó un estudio intenso y con muchos frentes de las dinámicas denominadas no-hiperbólicas. En ese contexto existen numerosas cuestiones de interés. Repasaremos algunas preguntas relacionadas entre si y con mi actividad de investigación el estudio de las denominadas piezas elementales de dinámica, la recuperación de "partes" de la teoría hiperbólica en contextos no-hiperbólicos y la detección de la "falta de hiperbolicidad" en el “nivel” ergódico (con énfasis en esta última pregunta). Los ingredientes en el “nivel topológico” son las "clases homoclínicas" y de "recurrencia", y en el “nivel ergódico” son las "descomposiciones de Oseledet", los "exponentes de Lyapunov", y las "medidas ergódicas". Explicaremos y motivaremos estos ingredientes. Ergodicidad es equivalente a “ser indescomponible” dinámicamente y tiene un sabor similar a la "transitividad topológica". Las medidas ergódicas tienen la propiedad de que los exponentes de Lyapunov son independientes (constantes) en casi todo punto con respecto de la medide, lo que permite definir los exponentes de Lyapunov de la medida. Una "medida es no-hiperbólica" cuando algún exponente es cero. En este análisis, la ergodicidad es un punto clave. El objetivo de este seminario es analizar la relación existente entre la falta de hiperbolicidad y la existencia de medidas ergódicas no-hiperbólicas. De forma ingenua podríamos pensar que son condiciones equivalentes, pero el problema es mucho más sutil. Explicaremos algunos métodos para construir medidas ergódicas no-hiperbólicas y veremos que para una amplia clase de sistemas la falta de hiperbolicidad se corresponde con la existencia de medidas ergódicas no hiperbólicas.