Departamento de Matemáticas UAM

Seminarios Avanzados

Se imparten por el equipo de Teams "Seminarios Distanciados". Para unirse al mismo contactar con Daniel Macías Castillo.

Grupos libres como grupos fundamentales

Ismael Morales (UAM)

Viernes 9 de octubre de 2020, 10:00-12:00h

Resumen: El objetivo del seminario es tratar algunas técnicas elementales de la teoría de espacios recubridores en el estudio de grupos libres.

El siguiente resultado, cierto en una familia muy general de espacios topológicos X, será nuestra herramienta principal. Dado un espacio X, con grupo fundamental G, existe una correspondencia entre los subgrupos de G y los espacios recubridores de X.

Denotamos por F un grupo libre. Existen un grafo X cuyo grupo fundamental es F. El interés de la correspondencia anterior es que podemos probar resultados algebraicos de F empleando propiedades topológicas de los espacios recubridores de X, los cuales son grafos.

Algunos de los resultados sobre F que se podrán demostrar desde este punto de vista en el seminario, según el tiempo permita, son los siguientes:

• Todo subgrupo de F es libre.
• Todo subgrupo de índice finito de un grupo finitamente generado es finitamente generado.
• Si F es un grupo libre de k generadores, entonces todo subgrupo de F de índice finito n es un grupo libre de nk-n+1 generadores.
• Dado un grupo finito G y un morfismo f: F --> G sobreyectivo, podemos calcular generadores explícitos del núcleo de f.
• Sea p primo. F es residualmente un p-grupo finito. Es decir, dado cualquier elemento g no trivial de F, existe un subgrupo normal H de F con índice potencia de p tal que H no contiene a g.