Miércoles 19 de noviembre
de 2008, 15:30 hr. C-XV-520
Luis Vega
Universidad del País Vasco.
“Integrales oscilatorias y filamentos de vorticidad”
Resumen:
Analizaremos con detalle ciertas soluciones particulares del llamado Flujo de la Binormal. Se trata de un flujo de curvas alabeadas caracterizado porque cada punto de la curva se mueve en la dirección de la binormal con una velocidad que es la curvatura en dicho punto. Este modelo fue propuesto por Da Rios en 1906 como una aproximación a la evolución de un filamento de vorticidad (i.e. las volutas de humo) que se mueve de acuerdo a las Ecuaciones de Euler. Unos setenta años más tarde Hasimoto estableció la conexión de este problema geométrico con una ecuación no lineal de Schrodinger. Las soluciones que nos interesan son autosemejantes, es decir invariantes por distintos grupos de simetrías. Ocurre que aunque dichas soluciones son muy fáciles de describir geométricamente, su estudio analítico es mas delicado y requiere técnicas de Análisis de Fourier que comúnmente se conocen como Integrales Oscilatorias. Estas surgieron entre otras razones al intentar resolver el problema de la restricción de la transformada de Fourier a hipersuperficies curvadas. Pese a que el modelo de Da Rios es muy burdo las soluciones autosemejantes capturan cualitativamente la evolución de la vorticidad alrededor de un ala delta. Es por ello que es necesario preguntarse sobre la estabilidad de las mismas. Recientemente en colaboración con V. Banica hemos dado una respuesta satisfactoria a dicha cuestión. Una pieza fundamental de nuestro trabajo la constituye el resultado clásico de Fefferman-Stein que asegura que la transformada de Fourier de una función de dos variables que pertenece a una clase de Lebesgue apropiada se puede restringir a una parábola. Recordemos que en general la transformada de Fourier solo esta definida en casi todo punto.