Miércoles 19 de noviembre de 2008, 15:30 hr. C-XV-520

Luis Vega
Universidad del País Vasco.

“Integrales oscilatorias y filamentos de vorticidad”

Resumen: 

Analizaremos con detalle ciertas soluciones particulares del llamado Flujo de la Binormal. Se trata de un flujo de curvas  alabeadas caracterizado porque cada punto de la curva se mueve en la dirección de la binormal con una velocidad que es la curvatura en dicho punto. Este modelo fue propuesto por Da Rios en   1906 como una aproximación a la evolución de un filamento de vorticidad (i.e. las volutas de humo) que se mueve   de acuerdo a las Ecuaciones de Euler. Unos setenta años más tarde  Hasimoto estableció la conexión de este problema geométrico con una   ecuación no lineal de Schrodinger. Las soluciones que nos interesan  son autosemejantes, es decir invariantes por distintos grupos de simetrías. Ocurre que   aunque dichas soluciones son muy fáciles de describir  geométricamente, su estudio analítico es mas delicado y requiere   técnicas de Análisis de Fourier que comúnmente se conocen como  Integrales Oscilatorias. Estas surgieron entre otras razones al   intentar resolver el problema de la restricción de la transformada de  Fourier a hipersuperficies curvadas. Pese a que el modelo de Da Rios es muy burdo las soluciones  autosemejantes capturan cualitativamente la evolución de la   vorticidad alrededor de un ala delta. Es por ello que es necesario preguntarse sobre la estabilidad de las   mismas. Recientemente en colaboración con V. Banica hemos dado una respuesta  satisfactoria a dicha cuestión. Una pieza fundamental de nuestro trabajo la constituye el   resultado clásico de Fefferman-Stein que asegura que la transformada   de Fourier de una función de dos variables que pertenece a una clase   de Lebesgue apropiada se puede restringir a una parábola. Recordemos  que en general la transformada de Fourier solo esta definida en casi todo punto.